In essence, it is a condition which ensures that the parameters of the probability distribution representing the model can all be … WikipediaSufficient statistic — In statistics, a sufficient statistic is a statistic which has the property of sufficiency with respect to a statistical model and its associated unknown parameter, meaning that no other statistic which can be calculated from the same sample … WikipediaNormal distribution — This article is about the univariate normal distribution. Articles hosted may not yet have been verified by peer-review and should be treated as preliminary. The Rao … WikipediaErich Leo Lehmann — (born 19 November 1917), a statistician, contributed to statistical and nonparametric hypothesis testing.
Lehmann–Scheffé theorem — In statistics, the Lehmann–Scheffé theorem, named after Erich Leo Lehmann and Henry Scheffé, states that any unbiased estimator based only on a complete, sufficient statistic is the unique best unbiased estimator of its expected value. To see the most … WikipediaMinimum-variance unbiased estimator — In statistics a uniformly minimum variance unbiased estimator or minimum variance unbiased estimator (UMVUE or MVUE) is an unbiased estimator that has lower variance than any other unbiased estimator for all possible values of the parameter. Add your own feedback and questions here:
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3 Tips For That You Absolutely Can’t Miss Survival Analysis
Contact – Disclaimer – Privacy – FundingThird-Party Links:传送门：数理统计|笔记整理（4）——估计量的简单性质：矩估计，极大似然估计——————————————————————————————————————大家好！抱歉这一节隔了这么久才发。这一节的名字也特别特别的长……我们这一节实际上更多的关注的是统计量的其它性质。而这些性质都有一些“最优”的特点。而这些特点又多多少少与信息相关。因为它们其实是在我们上一节介绍的性质之上的更加深入，具体的一些内容，所以难度自然也稍大一些啦。当然，统计判决函数和UMRUE是高等数理统计的内容，但是UMVUE和CR不等式却是本科需要掌握的内容。为了保证书写逻辑的一致性，我们没有对相关内容进行斜体标注（但是针对一些复杂的，实际中又用的不多的定理我们还是会保留标记），目的是让大家知道这一个框架下也可以学习和掌握本科对应的内容。同时也防止大家因为忽略了一部分的内容而导致之后的阅读出现困难。那么我们开始吧。从这一部分开始，我们开始关注的是统计量的一些更具体的估计性质。首先我们来定义统计判决这个概念。听起来好像挺玄乎的。我们已经多次强调，数理统计所关注的重点就是用样本估计总体的分布。既然我们希望做参数估计，那么我们自然希望的就是，通过一个与样本有关的函数，构造一个框架，来完成所有的我们的参数估计的任务，并且希望这个任务完成的尽量好。当一个样本出现时，我们的判决函数要给定一个判定，判定给完之后，就需要计算一个损失，这个损失计算完之后，我们自然就希望估计在这个损失的意义下是最优的，就是这么一个逻辑。你有没有感觉这有点像三国杀里面的八卦阵，每一轮做一次判定？或者有没有感觉像强化学习的意思？但其实这个思想也正是统计判决的思想。事实上，统计判决包含很多元素：原料（样本，分布），工具（判决函数），标准（损失函数 (loss function)）和量度（风险函数 (risk function)）。样本和分布不必再提，至于判决函数，直观理解就是根据样本做的一个判定。它就是一个关于样本 X = x 的函数 d = \delta(x) ，而这个框架就可以完成几乎所有事情。比方说矩估计，其实就是一个判决，判决哪一个是我矩估计希望得到的答案。而这个判决空间是实数集，比方说我们可以取 d = \delta(x) = \bar x ，它的意思就是，给定样本 x = (x_1,\cdots,x_n) Read Full Report d = \bar x 就是我希望得到的矩估计。关于损失函数，它表示在参数 \theta 下，判决 d 带来的损失，这个就和函数的性质息息相关了。比方说我们在线性回归中，使用最小二乘法，其实本质上就是考虑了使用 L(\theta, d) = (d-\theta)^2 作为损失函数。一般情况下我们希望它是凸的。关于风险函数，我们一般都是用期望来表示的。这里给出它的定义。再单独定义一个风险函数的原因是，损失函数是一个与 d 有关的函数，但是这个 d 是一个随机变量，所以取期望的目的也就是把这个随机性给去掉，方便我们比较。比方说现在我们希望对分布 X_1 \sim N(\mu, \sigma^2) 做一个参数估计，估计 \sigma^2 ，并且假设损失函数 L(\theta, d)= (d-\sigma^2)^2 （也就是说，这里的 \theta 就是 \sigma^2 了），那么假如我们的判决为 \delta_1(X) = \frac{\sum_{i=1}^{n} (X_i – \bar X)^2}{n-1} （这也就是样本方差），这样的话，如果你要计算风险函数，其实就是考虑 E_\theta[\delta_1(X)-\sigma^2]^2 ，也就是均方误差 (Mean Squared Error)，我们之后还会定义这个概念。我们早已经证明过 E[\delta_1(X)] = \sigma^2 ，所以上面那个式子本质上就是方差。那么我们要注意到的是 (n-1)\delta_1(X) \sim \sigma^2 \chi^2(n-1) （第二节的抽样定理），所以实际上可以得到这也就是我们的风险函数。既然知道了怎么算，那自然还想知道，到底怎么样算是“好”的。当然，不同的量度下，也确实存在有不同的情况。我们一一来说明我们的量度。首先是一致最优性。很明显，这当然是一个非常好的性质，但是实际情况下，对非常广的情况进行求解是很困难的。所以一般都会有一些限制。我们举一个贝叶斯(Bayes)准则的例子。这个东西会用的比较多，这是因为我们相当于考虑的是风险函数在参数空间上的一个加权平均，这样的话，其实就会更加关注到参数空间的那一套内容，所以这个准则被应用的也算很广。下面我们介绍Rao-Blackwell定理，它将风险函数和充分统计量的概念很巧妙的联系在了一起。我们证明一下这个结论。首先我们注意到，因为 T 是充分统计量，所以 X | T 与参数无关，也就不会含有参数的未知量，意思就是说 \delta^*(X) 是一个统计量（注意到 \delta(X) 本质上就是 X 的一个函数，所以它也就只会含有 X 的信息，因此它在 T 条件下也不会有未知参数的信息）。这样之后，我们再观察一下，在不同的参数下，风险函数会有什么变化即可。注意到这两个式子都挺长的。为了继续我们的证明，我们简单介绍一下概率论中的Jenson不等式。首先根据凸性，可以得到对任意的 E(X) ，存在常向量 c ，对任意 X 有你可以理解为 E(X) 是常数， X 是自变量。两边取期望即可。这里我们要用的就是期望中的Jensen不等式，也就是这就是将Jenson不等式用于 X | T 的条件分布后得到的结果。所以你肯定需要一个与 X 有关的函数 f ，并且要凸。而这个我们条件是有的，就是函数 L(\theta, \delta(X)) ，所以我们实际上可以得到 E_\theta[L(\theta, \delta(X))|T] \le L(\theta, E_\theta(\delta(X) | T)) ，对比一下你就发现已经证完了。同样的，根据Jensen不等式的取等条件是 \delta(X)|T 的分布退化（当然这要求严格凸），你就不难得到 \delta(X) = h(T) 的时候取等。我们在之后讲到更深层次的例子之后，你就会发现充分统计量在压缩信息中的作用。在参数估计中，这两个分别代表“一致最小风险无偏估计”和“一致最小方差无偏估计”。可以说它们算是估计的最重要的两个概念。我们慢慢来看。首先，我们需要定义均方误差的概念。一个均方误差的非常常见的拆解，其实我们在机器学习中也会遇到，就是考虑以 E[\hat g(X)] 搭桥（注意，为了保证符号和书上一致，也避免符号写的太多看着头晕，我们省去了部分下标，这里实际上是 E_\theta[\hat g(X)] ），然后得到一个比较好的平方和拆分，也就是下面这个意思。其实最关键的就是这最后一步，交叉项去哪里了？不妨做一个计算看一下，我们有到这里，其实问题就解决了，因为 E_\theta\{\hat g(X) E[\hat g(X)]\} 中的 E[\hat g(X)] 相对于外面那一圈期望来说，其实是一个常数，所以把它拉出去，就可以得到 E_\theta\{\hat g(X) E[\hat g(X)]\} = E^2[\hat g(X)] ，这就使得里面的两项消掉了。另外两项其实需要注意， g(\theta) 本身相对于 E_\theta(\cdot) 是一个常数（在频率学派框架下，这个 \theta 我们认为是不带有随机性的），所以也可以直接拉出来，就可以保证消去另外两个项。项既然全消完了，整个式子自然就变为0了。那么，回到之前的推导。因为交叉项为0，所以自然会容易得到其中 \mathrm{bias}(\cdot) 是指偏差，它的定义为估计的期望与实际值的差。所以如果说一个估计是无偏的，实际上就是它的偏差为0的意思。上面这个式子在机器学习中也异常的重要，它相当于解释了在机器学习中的训练损失来源于两个部分：偏差与方差。而这个一定程度上可以作为过拟合现象的统计解释。好的，下面我们给出UMRUE和UMVUE的概念。所以其实我们可以看出，本科中学习的UMVUE，其实就是UMRUE的一个特殊情况。这里得到的估计也不完全是“一致最优”的，因为我们相当于限制了判决空间，只考虑了无偏估计。也是因为UMVUE只是特殊情况，我们在讲的时候还是会从UMRUE的框架出发，但是我们到后面可以看到，因为定理的支撑，它的计算也有套路可循，而定理的证明本身在本科并不作要求，因此非研究生也不必担心因为自己没有看UMRUE的内容就不会计算UMVUE。这个定理算是Rao-Blackwell的一个延展，有了它我们才能说明我们究竟如何求解UMRUE。要证明这个定理不太容易，需要一步步来。根据之前完备性的定义，只需要考虑到，不管对 T(X) 套了一个什么函数 \varphi ，只要我们知道 E_\theta[\varphi(T(X))] = 0, \forall \theta ，就可以推出 \varphi(T(X)) = 0, a. See also *list of fundamental theorems *list of lemmas *list of conjectures *list of inequalities *list of mathematical proofs *list of misnamed theorems *Existence theorem *Classification of finite … WikipediaList of mathematics articles (L) — NOTOC L L (complexity) L BFGS L² cohomology L function L game L notation L system L theory L Analyse des Infiniment Petits pour l Intelligence des Lignes Courbes L Hôpital s rule L(R) La Géométrie Labeled graph Labelled enumeration theorem Lack … WikipediaviXra.
In particular, anything that appears to include financial or legal advice or proposed medical treatments should be treated with due caution. For normally distributed vectors, see Multivariate normal distribution.
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e. If S(𝐗) is a complete sufficient statistic and h(𝐗) is an unbiased estimator for θ, then, givenh0(S)=h0(S(𝑿)) is a uniformly minimum variance unbiased estimator of Click Here Lehmann obtained his MA in 1942 and his PhD in 1946, at the University of California … WikipediaCompleteness (statistics) — In statistics, completeness is a property of a statistic in relation to a model for a set of observed data. A statistic S(𝑿) on a random sample of data 𝑿=(X1,…,Xn) is said to be a complete statistic if for any Borel measurable function g,In other words, g(S)=0 almost everywhere whenever the expected value of g(S) is 0. Furthermore, h0(S) is unique almost everywhere for every θ.
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It may refer to: * … look at here WikipediaRao–Blackwell theorem — In statistics, the Rao–Blackwell theorem is a result which characterizes the transformation of an arbitrarily crude estimator into an estimator that is optimal by the mean squared error criterion or any of a variety of similar criteria. org will not be responsible for any consequences of actions that result from any form of use of any documents on this website. .